DSP-Grundlagen: Digitale Filter einfach erklärt - Teil 1

Der Falcon 030 soll mit einem DSP 56001 ausgestattet sein. Wir bieten einen Einstieg in die Technik der digitalen Filterung.

Beginnen wir unsere Überlegungen mit einfachen Grundlagen. Den meisten Anwendern sind Filter nur in ihrer analogen Form bekannt: Tiefpässe, Hochpässe, Bandsperren und Bandpässe gehören zu den Grundkenntnissen jedes Hardware-Freaks.

Doch die analoge Bearbeitung eines Signals bringt einige Nachteile mit sich:

Dies sind einige Fakten, weswegen man heute in vielen Bereichen auf digitale Signalverarbeitung umsteigt. Die erste Frage, die sich hierbei stellt, ist, wie man von einem analogen zu einem digitalen Signal gelangt, das letztendlich durch einen DSP verarbeitet werden kann:

Die Analog-Digital-Wandlung eines kontinuierlichen Signals in ein - meist binäres - digitales Signal erfolgt in zwei Schritten: zuerst wird die analoge Eingangsgröße zeitlich, mit einer Abtastfrequenz fa abgetastet (Diskretisieren), so daß eine Folge von Amplitudengrößen entsteht. Im zweiten Schritt erfolgt die Zuordnung dieser einzelnen Amplitudengrößen zu einer Vergleichsgröße Quantisieren). Bei den meisten gebräuchlichen A/D-Wandlern laufen diese Schritte gleichzeitig ab. Je nachdem, mit welcher Wortbreite N Sie das analoge Signal abtasten, um so größer ist der Signal-Quantisierungsgeräuschabstand, der sich mit der Formel SQ = 6 * N + 1,8 dB (für sinusförmige Signale) berechnen läßt.

Vor dieser A/D-Wandlung gilt es jedoch einige wichtige Dinge zu beachten:

1) Um ein analoges Signal nach erfolgter Digitalisierung wieder vollständig zu rekonstruieren, ist eine Abtastfrequenz »fa« notwendig, die mindestens doppelt so groß ist wie die höchste Frequenz des analogen Eingangssignals (Shannonsches Abtasttheorem). 2) Damit nicht unerwünscht hohe Frequenzen an den A/D-Wandler gelangen, ist eine Bandbegrenzung des Eingangssignals auf die Grenzfrequenz »fg«, erforderlich. Diese sog. Antialiasing-Filter sollen alle unerwünschten Frequenzen oberhalb der halben Abtastfrequenz herausfiltern, wobei allerdings alle Frequenzen der tieferliegenden Signalanteile ungehindert passieren können. Als Aliasing-Effekt bezeichnet man eine Art Schwebung, die dann am Ausgang auftritt, wenn das Eingangssignal mit einer Frequenz abgetastet wird, die niedriger liegt als das Abtasttheorem vorschreibt. 3) Um aus dem abgetasteten Signal wiederum ein zeitkontinuierliches Signal zu gewinnen, ist ebenfalls ein Tiefpaß mit der Grenzfrequenz ftp nach der D/AWandlung notwendig.

Faßt man diese drei Punkte zusammen, ergeben sich folgende Grundgleichungen:

Abtastfrequenz fa > 2*fg
bzw. Ta < fg/2;
Tiefpaßfrequenz fa/2 > ftp > fg

Weitere Problematik tritt auf, wenn man bedenkt, daß die beiden Bandbegrenzungsfilter in der Praxis keine ideale sprunghafte Übertragungsfunktion besitzen. Der Übergang vom Durchlaß in den Sperrbereich erfolgt kontinuierlich, so daß sich eine große Steilheit bzw. Sperrdämpfung der Filter nur mit großem Aufwand realisieren läßt. Um hier den Aufwand möglichst gering zu halten, verwendet man eine deutlich höhere Abtastfrequenz als durch das Abtasttheorem vorgegeben. Dieses Verfahren ist den meisten Lesern bestimmt unter dem Begriff »Oversampling« (Überabtastung) vom CD-Player her bekannt.

Zwischen Bandbegrenzungsfilter und eigentlichem A/D-Wandler ist noch eine weitere Komponente geschaltet, die »Sample and hold«-Stufe. Sie ist notwendig, da der Wandler für die Umsetzung des analogen Signals ins digitale Signal eine gewisse Zeit benötigt. Bei sehr schnellen Änderungen auf der analogen Seite muß das Eingangssignal abgetastet (sample) und danach für die Zeit des Umsetzens zwischengespeichert (hold) werden.

Prinzipiell wären wir nun soweit, daß wir aus unserem ankommenden analogen Signal ein digitales Signal gewonnen haben, das sich dann durch den digitalen Signalprozessor z.B. des Falcon 030 bearbeiten läßt. Zurück zu unseren digitalen Filtern. An die Stelle von Kondensatoren, Spulen, Widerständen etc. im analogen Filter treten im digitalen Bereich Verzögerer, Multiplizierer und Addierer. Ihre Funktion ist recht einfach zu erklären:

Bevor wir uns den digitalen Filtern widmen, müssen wir noch eine mathematische Brücke von den analogen zu den digitalen Übertragungssystemen schlagen, indem wir uns ein Verzögerungsglied, zwischen den Punkten »xein (tµ)« und »yaus (tµ)« geschaltet, denken (Abb. 4).

Legen wir nun eine Folge von Eingangssignalen xein(tµ) = k*sinwt an ein lineares analoges Übertragungsglied an, so erscheint auch am Ausgang eine Sinusfolge. Für unsere Überlegung legen wir eine harmonische Eingangsfolge [1] an den Eingang unseres Verzögerungsgliedes.

Wenn wir davon ausgehen, daß es sich bei dem Verzögerungsglied um ein lineares Element handelt, läßt sich das Ausgangssignal »yaus(tµ)« einfach durch das um »Ta« verzögerte Eingangssignal beschreiben. Dies ergibt also umgeformt folgt [2]

Setzt man nun für

stellt [1] nach

um und setzt dieses in [2] ein, ergibt sich: mit so folgt für das Ausgangssignal

Um jetzt die Übertragungsfunktion »A(p)«, aufzustellen, setzt man einfach A(p) = Ausgangssignal/Eingangssignal = y(tµ)/x(tµ) und erhält: [3]

Diese Übertragungsfunktion ist eine periodische Funktion mit der Periode f=fa=1/Ta. In der digitalen Signalverarbeitung hat man nun die Abkürzung [4] für die Übertragungsfunktion eines Verzögerungsglieds eingeführt. Im Frequenzbereich lautet die Beschreibung des Verzögerungsglieds also A(z) = z-1.

In der Analogtechnik verwendet man die Laplace-Transformation zur Beschreibung des Zusammenhangs zwischen Ausgangssignal und einem beliebigen zeitabhängigen Eingangssignal. Die Gleichung hierfür ist

Für ein digitales Übertragungssystem läßt sich eine ähnliche Gleichung angeben:

wobei für gilt. Die digitale Übertragungsfunktion ergibt sich jetzt zu

aus [4] läßt sich z-1 über die komplexe Rechnung wieder umschreiben zu

Somit lassen sich, ähnlich wie bei den analogen Filtern, wichtige Kenndaten wie Betrag, Phase und Gruppenlaufzeit auf einfache Weise berechnen. Bei digitalen Filtern unterscheidet man zwei Klassen, die FIR- und IIR-Filter.

HR-Filter: die infiniteimpulse-response-Filter sind das genaue Pendant zu den in der Analogtechnik bekannten Filtern, bestehend aus den Bauelementen R, L, C und OR Im Gegensatz zu den später folgenden FIRFiltern zeichen sich diese durch eine Rückkopplungsstruktur aus.

Ein Filter 2. Ordnung besitzt die Übertragungsfunktion

In der nächsten Ausgabe gehen wir weiter auf verschiedene Filterarten und Transformationen ein. (uw)


Hans Hoffmann
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